Personalidad política carlista; nacido en La Habana (Cuba) en 1841, radicó en Tafalla (Navarra) de donde procedía su familia. Se licenció en Derecho en la Universidad Central de Madrid en 1864, habiendo ya para entonces debutado en la cuestión pública con un folleto denunciando la situación de la isla de Santo Domingo. Elegido al poco de instalar su bufete de abogado en la capital española como diputado carlista a Cortes por Navarra, propuso la abolición de quintas, propugnando la creación de un ejército voluntario. En 1866 publicó una obra de Hacienda, proponiendo, además, un plan general de reformas importantes en este ramo.
Fue por segunda vez (1867) investido diputado en la legislatura siguiente, para la que fue nombrado secretario. Por entonces se le propuso para el cargo de preceptor del príncipe Alfonso (hermano de Carlos de Borbón y de Este); renunció por creer necesaria su presencia en el Parlamento, dado el gran interés que encerraba la llamada "cuestión de Roma". A raíz del triunfo de la Revolución de septiembre de 1868, Muzquiz, como secretario de las Cortes, se encontraba custodiando el edificio del Congreso, y se negó a prestarse cuando la Junta revolucionaria triunfante se presentó a las Cortes para constituirse allí, hasta recibir autorización del general Concha, quedándose en el local guardando los archivos hasta la llegada de voluntarios armados, a quienes entregó la casa. Poco después marchó a Navarra y de allí a París, para ofrecerse personalmente a Carlos de Borbón, quien le autorizó para dirigir los trabajos electorales del carlismo en el ex reino de Navarra.
A sus iniciativas se debió una candidatura carlista. El Gobierno, alarmado, tomó cartas en el asunto y Muzquiz fue encarcelado. Conducido a la ciudadela de Pamplona, estuvo quince días incomunicado, y luego trasladósele a la cárcel, en la que permaneció seis meses. Durante su prisión fue elegido diputado a Cortes por más de 20.000 votos, aunque fue proclamado Alzugaray, que solamente obtuvo 5.000. Negóse a Muzquiz autorización para ir a defender su acta pero el Congreso declaró nula aquella elección, y sujeto el distrito a otra nueva, en la cual no se presentó el contrario y resultó entonces elegido por unanimidad, siendo proclamado diputado de las Constituyentes en junio de 1869. Representó a Navarra en la Junta Extraordinaria del carlismo convocada por el pretendiente en la Tour de Peilz, Casa Palacio de la Faraz, en el cantón suizo de Vaud, para el día 18 de abril de 1870.
"Precedido de dos gentiles-hombres, reseña Oyarzun, entró S.M. al grito unánime de "Viva el Rey"; ocupó la presidencia, teniendo a la derecha a su secretario el conde de Samitier y subsecretario José Ros de los Ursinos, y la izquierda los dos secretarios de la Junta Central de Madrid, Joaquín Muzquiz y el conde de Canga-Argüelles". Fue elegido de nuevo diputado a Cortes por el distrito de Estella en 1871. Entre otras obras políticas, fue autor de Realidad de la fusión (de las dos ramas de los Borbones), Madrid, 1870; Consulta a los electores de Estella ..., Madrid, 1871, y La verdadera legitimidad y el verdadero liberalismo, que publicó en La Habana en 1896.