Jurista y político, ministro y Defensor del Pueblo nacido en San Sebastián el 20 de febrero de 1932.
Hijo de un violinista muerto en la guerra civil y de Paulette Herzog francesa de origen judío-polaco. Estudio en su ciudad natal en el colegio de los Marianistas.
Comenzó su actividad política durante sus años de estudiante de derecho en la Universidad Complutense de Madrid.. Fue uno de los creadores del Congreso Universitario de Escritores Jóvenes, aunque fue prohibido en febrero de 1956. Enrique Múgica fue uno de los significados promotores del Congreso Nacional de Estudiantes. Los disturbios posteriores le llevaron a la cárcel junto a otros estudiantes del momento como Ramón Tamames, y costaron el cargo al Ministro Ruiz-Jiménez.
En este momento por lo tanto, además de su actividad política, comienza su militancia en el PCE, por lo que paso temporadas en la cárcel (más de cuatro meses en 1959 y 22 meses entre 1962 y 1967). En 1963 pasó al PSOE, siendo miembro de su ejecutiva desde 1967, en cuyo congreso de Suresnes (1974) tomo parte activa en llevar a la Secretaría general a Felipe González, al tiempo que era nombrado secretario de Organización del partido.
En los inicios de la Transición fue representante del PSOE en la "Platajunta" (marzo de 1976) que negoció con Adolfo Suárez el contenido de la Ley de reforma política.
En las primeras elecciones democráticas fue elegido diputado por Gipuzkoa por primera vez, siendo reelegido hasta en siete ocasiones. A lo largo de estas ocho legislaturas mantuvo una destacada actividad parlamentaria. En la legislatura constituyente fue vocal de la Diputación Permanente, y sustituto de la Junta de Portavoces, Vicepresidente Segundo de la Comisión de la Constitución y de la Comisión de Asuntos Constitucionales y Libertades Públicas. Presidente de la Comisión de Defensa y Vocal de la Comisión de Interior.
En la primera Legislatura (1979-1982) continuó siendo Vocal de la Diputación Permanente, de la Comisión Constitucional, de justicia e Interior, Vicepresidente Segundo de la Comisión de Defensa, Vocal de la Comisión de Obras Públicas y Urbanismo, Vocal de la Comisión de Presidencia, de la Comisión de Reglamento y de la del Defensor del Pueblo.
Por su presidencia de la Comisión de Defensa del Congreso tuvo contacto con militares que luego le implicaron en el golpe de Estado del 23-F, lo que siempre negó y atribuyó a la inquina contra él.
Quizás fueran estas acusaciones, más o menos veladas, las que hicieron que su actividad pública y parlamentaria en las siguientes legislaturas fuera menor. En la III Legislatura fue Vocal Suplente de la Diputación Permanente, Vocal de la Comisión Constitucional y de la Comisión de Control Parlamentario sobre RTVE. En la IV Legislatura (1991-1993) fue Vocal Suplente de la Diputación Permanente, Vocal de la Comisión Constitucional y de la de Reglamento. En la V (1993-1996) Vocal Suplente de la Diputación Permanente y Vocal de la Comisión Constitucional y de la Comisión Mixta de Relaciones con el Defensor del Pueblo. En la VI (1996-2000) fue Vocal de la Comisión de Asuntos Exteriores y de la Comisión Mixta de Relaciones con el Defensor del Pueblo.
Otro factor que redujo se actividad parlamentaria fue su paso por la cartera de Justicia entre julio de 1988 y marzo de 1991. Durante su Ministerio se aprobaron, entre otras leyes, la de Demarcación y Planta Judicial, la de Sociedades Anónimas y las reformas procesales y penales que dieron lugar a la creación de los Juzgados de lo penal.
Tanto Enrique Múgica, judío, como su hermano Fernando, destacaron siempre como firmes defensores del establecimiento de lazos de amistad entre España e Israel, puesto que no hay que olvidar que su madre era de origen judío polaco. La aportación de ambos fue decisiva para el establecimiento de relaciones diplomáticas entre España e Israel en 1986. El 11 de julio de 1987, el Consejo de Ministros le nombró Presidente de la Comisión de Investigación de las Transacciones de Oro procedentes del Tercer Reich durante la Segunda Guerra Mundial.
El asesinato por parte de ETA en febrero de 1996 de su hermano Fernando Múgica, también histórico militante del PSOE pero ya retirado por entonces de la política activa, marcó un punto de inflexión notable en la trayectoria política de Enrique Múgica. A partir de ese momento, se destacó como uno de los políticos socialistas más críticos no solo con el terrorismo de ETA, sino con el nacionalismo vasco en general.
En junio de 2000 dejó su escaño parlamentario (tras casi 25 años) y su militancia socialista debido a que era incompatible con su nueva responsabilidad, la de Defensor del Pueblo. En efecto, en junio de 2000 fue elegido por las Cortes nuevo Defensor del Pueblo con la práctica unanimidad, cargo que en junio de 2005 renovó, lo que ocurría por primera vez en la corta historia de esta institución en España. Tras este segundo mandato, en junio de 2010, cesó.
Su labor como Defensor del Pueblo no estuvo exenta de polémicas, lo que le costó incluso recibir la reprobación de su propio partido, como las derivadas de sus manifestaciones a favor de la Barrera de Cisjordania en 2004, su recurso ante el Tribunal Constitucional a la reforma del Estatuto de Cataluña en 2006 (contra 112 artículos y cuatro disposiciones adicionales), su negativa a recurrir la Ley de Extranjería en 2000 (que luego sí sería enmendada por el Tribunal constitucional) o su oposición a la Ley de Memoria Histórica y a los contactos entre el gobierno de Rodríguez zapatero y ETA.
Además de su actividad política, ha publicado el libro Itinerario hacia la libertad y ha colaborado con frecuencia en los principales diarios españoles.